كيف يمكن وصف نظرية دي مواڤر De Moivre؟
نظرية دي موفر(De Moivre's theorem) هي نظرية في الرياضيات ترتبط بتحليل الأعداد المركبة أو
المعقدة وتقديم طريقة لرفع رقم مركب إلى أية قوة عددية. وتستخدم في حساب قوى
الأعداد العقدية وتمثيلها بشكلها القطبي ـ تم تطوير هذه النظرية بواسطة الرياضي
الفرنسي البريطاني أبراهام دي مواڤر (Abraham de Moivre) في القرن الثامن عشر.
تعتبر هذه النظرية من اهم النظريات الرياضية التي تقوم بتطوير الهندسة التحليلية. وهي مفيدة في استخراج العلاقات بين الدوال المثلثية عديدة الزوايا (mohe، 2023 ديسمبر 17).
وفقًا لنظرية دي موفر، يمكن تمثيل الأعداد المعقدة في شكلها القطبي باستخدام الزوج العددي (r, θ). حيث r يمثل المسافة من الصفر إلى نقطة التمثيل. وθ يمثل الزاوية بين المحور الأفقي الموجب والخط المار من الصفر إلى نقطة التمثيل.
النظرية تأخذ صيغتها الأساسية على النحو التالي:
إذا كان ( z) هو عدد مركب بالشكل ( z = r(cos θ +i sin θ
فإن نظرية دي مواڤر تقول إنه لأي عدد صحيح ( n)، يتم تمثيل تراكيب الأعداد
التي ترفع إلى القوة ( n) بواسطة الصيغة التالية:
[ (r(cos θ + i sin θ))^n = r^n (cos (nθ) + i sin (nθ))]
مما يسمح لنا بتوجيه التعامل مع أقواس وقوى الأعداد المركبة بطريقة أكثر فعالية. النظرية مهمة في العديد من فروع الرياضيات والهندسة، خاصةً في الحساب التفاضلي والتكاملي ونظرية الاحتمالات.
ما هو نطاق هذه النظرية؟
نظرية دي مواڤر تستخدم أساسًا في الرياضيات التحليلية والهندسة الكمومية. وتعتبر أحد أدوات الحساب التفاضلي والتكاملي المهمة. تُستخدم هذه النظرية بشكل رئيسي في تمثيل وحساب الأعداد المركبة بشكل فعال. وفي رفعها إلى قوى عددية.تتناول نظرية دي مواڤر الأعداد المركبة في شكلها القطبي ( ( r) و ( θ)) بدلاً من الشكل الكارتيزي ( a + bi) . وهذا يسمح بتبسيط العمليات الرياضية المتعلقة بالأعداد المركبة، خاصةً عندما يتعلق الأمر بالضرب والقسمة ورفع الأعداد المركبة إلى قوى عددية.
نظرًا لأهميتها في مجالات معينة مثل الهندسة الكمومي. تظهر نظرية دي مواڤر أيضًا في الفيزياء الرياضية والهندسة والإحصاءات. تحظى بأهمية خاصة في فهم وتحليل الظواهر التي تشمل الأعداد المركبة. مما يجعلها أداة قيمة في مجالات متنوعة.
أعط مثالين للجذور ومثالين للقوى.
لنقدم أمثلة على استخدام نظرية دي مواڤر في حساب الجذور والقوى للأعداد المركبة، سنستخدم الصيغة التي تمثل الأعداد المركبة في شكل قطبي:1. مثال على حساب الجذر.
المثال الأول: لنفترض أن لدينا العدد المركب ( z = 3(cos ℼ/4 + i sin ℼ/4)). ونريد حساب جذر رباعي له.نستخدم نظرية دي مواڤر بتطبيق الصيغة:
( z^ (1/4) = 3^ (1/4) (cos ℼ/16+ i sin ℼ/16))
المثال الثاني: جذر العدد المعقد
z = √(a + bi) يكون متساويًا للعدد المعقد x = c + di إذا كانت الشروط التالية
متحققة:
a = c^2- d^2 , b = 2cd
2. مثال على حساب القوى.
المثال الأول:فلنفترض العدد المركب ( w = 2(cos ℼ/3 +i sin ℼ/3))، ونريد رفعه إلى القوة التكعيبية.
نستخدم نظرية دي مواڤر بتطبيق الصيغة:( w^3 = 2^3 (cos(3* ℼ/3) +i sin (3* ℼ/3))
المثال الثاني:
العدد المعقد z = (a + bi)^2
يكون متساويًا للعدد المعقد x = c + di إذا كانت الشروط التالية متحققة:
a = c^2- d^2 , b = 2cd
هذه الأمثلة تظهر كيفية استخدام نظرية دي مواڤر في حساب الجذور والقوى للأعداد المركبة.
المراجع.
Duaa, mohe. (2023 ديسمبر 17). تطبيقات على نظرية ديموافر. مرسال. تم الاسترجاع من الرابط https://www.almrsal.com/post/1007875.
مجلة التعلم