المعادلات الخطية وغير الخطية
حيث يتم استخدامهما لإيجاد قيمة المجهول. سواء كان متغير واحد أو أكثر. وعادة ما يتم وصف هذه المتغيرات بأحرف أبجدية للوصول إلى حلها بشكل صحيح.
وفي الرياضيات، نظام المعادلات الخطية يكون عبارة عن مجموعة واحدة أو أكثر من المعادلات الخطية التي تتضمن نفس مجموعة المتغيرات. وهي لا تحتوي على أي من الأسس أو الجذور التربيعية. حيث يكون كل حد فيها عبارة عن ثابت أو عن ثابت متغير.
حل واجب المناقشة
انتظر حتى يكتمل التحميل 👇
-----------------------------------------------------------------------------
مجلة التعلم.
مفاهيم نظم المعادلات الخطية والغير خطية.
بدايةً تعد المعادلات بشكل عام هي عبارة عن عبارات رياضية ترتبط بينهما علاقة يساوي(=) ويكون لها أيضا حدان متساويان في القيمة. يكون أحدهما على الجانب الأيمن والأخر على الجانب الأيسر .
حيث يتم استخدامهما لإيجاد المجهول قيمته سواء كان متغير واحد أو أكثر. وعادة ما يتم وصف ذه المتغيرات بأحرف أبجدية للوصول إلى حلها بشكل صحيح.
أنظمة المعادلات هي مجموعات من المعادلات التي تربط بين متغيرات متعددة. يمكن أن تكون هذه المعادلات خطية أو غير خطية.
وفي الرياضيات، نظام المعادلات الخطية يكون عبارة عن مجموعة واحدة أو أكثر من المعادلات الخطية. التي تتضمن نفس مجموعة المتغيرات. وهي لا تحتوي على أي من الأسس أو الجذور التربيعية. حيث يكون كل حد فيها عبارة عن ثابت أو عن ثابت متغير.
ويتواجد أيضا للمعادلة الخطية ثلاث أنواع من المعادلات وهي المعادلة الخطية بمتغير واحد. والمعادلة الخطية بمتغيرين والمعادلة الخطية بثلاث متغيرات (ملص، 2022).
المعادلات الخطية هي تلك التي لا تحتوي على أي متغيرات مرتفعة إلى أس أعلى من 1. على سبيل المثال، المعادلات التالية هي معادلات خطية:
- x + 3y = 7
- x - y = 4
- z = 5x + 2
المعادلات غير الخطية هي تلك التي تحتوي على متغيرات مرتفعة إلى أس أعلى من 1 . أو تحتوي على وظائف غير خطية مثل الجذور أو الدوال المثلثية. على سبيل المثال، المعادلات التالية هي معادلات غير خطية:
- x^2 + y^2 = 9
- y = e^x
- sin(x) + cos(y) = 1
ماهي المفاهيم التي نحتاجها لاستيعاب مفاهيم نظم المعادلات الخطية والغير خطية؟
لفهم مفاهيم نظم المعادلات الخطية وغير الخطية. يكون من الضروري فهم مفاهيم أساسية في الجبر الخطي والتحليل الرياضي. إليك بعض هذه المفاهيم:
- تعريف المصفوفة.
- جمع وضرب المصفوفات.
- مفاهيم التفاضل والتكامل.
- الدوال الغير خطية.
- الحلول الفردية والحلول العامة.
- مفاهيم التحليل الرياضي.
- استخدام البرمجة لحل المعادلات.
هذه المفاهيم تشكل أساس فهم نظم المعادلات الخطية وغير الخطية. وتمهيدًا لاستخدام الطرق المختلفة لحل هذه المعادلات.
ما هي نظم المعادلات الخطية والغير خطية التي تستطيع أن تتخيلهم؟
إن نظم المعادلات الخطية والغير خطية التي نستطيع أن نتخيلهم هي:
نظم المعادلات الخطية.
نظام معادلات خطية يتألف من مجموعة من المعادلات الخطية. حيث يكون كل معادلة خطية في المتغيرات الرئيسية. على سبيل المثال:1. نظام من معادلتين.
- 2x + 3y = 4
- 4x + 5y = 3
2. نظام من ثلاث معادلات.
- 2x - y + z = 4
- x + 3y - 2z = 1
- 3x + 2y + z = 7
نظم المعادلات غير الخطية.
نظام معادلات غير خطي يتألف من معادلات تحتوي على تفاعلات غير خطية للمتغيرات. على سبيل المثال:1. نظام من معادلتين غير خطيتين.
- x^2 + y^2 = 25
- xy = 12
2. نظام معادلات تفاضلية غير خطية.
- dx/dt = x^2 - y
- dy/dt = xy-z^2
- dz/dt = xyz
3. نظام معادلات غير خطية مع جذور تربيعية.
- 5= x√+√y
- xy = 12
تلك هي أمثلة على أنظمة معادلات خطية وغير خطية. وتظهر تنوع الصيغ والتفاعلات في هذه الأنظمة. علماً أن تحليل وحل هذه الأنظمة يتطلب استخدام مهارات الجبر الخطي والتحليل الرياضي.
أين توجد المعادلات الخطية في حياتنا؟
وفي أنشطتك اليومية هل يوجد أي حقيقة تستطيع تفسيرها كنظم المعادلات الخطية وغير الخطية؟
يمكن تفسير العديد من الحقائق في الحياة اليومية باستخدام مفاهيم نظم المعادلات، سواء كانت خطية أو غير خطية. نذكر بعض الأمثلة مثل:1- النماذج الرياضية: يمكن تمثيل الاحتباس الحراري باستخدام نماذج رياضية، وغالبًا ما تكون هذه النماذج تشمل معادلات غير خطية. نماذج الاحتباس الحراري تتناول تراكم الغازات الدفيئة في الغلاف الجوي. وتأثيرها على ارتفاع درجة حرارة الأرض.
إليك مثال بسيط على كيفية تمثيل ذلك باستخدام معادلة غير خطية:
لنفترض أن درجة حرارة الأرض (T) تتغير على مر الزمن (t) بسبب الاحتباس الحراري، ويمكن تمثيل هذا باستخدام المعادلة التالية: = α T^2 – β dT/dt
حيث:
- dT/dt هي معدل التغير في درجة الحرارة على مر الزمن.
- ( α) و ( β) هما معاملات تحكم في تأثير الاحتباس الحراري.
- (T) هي درجة حرارة الأرض.
هذه المعادلة هي معادلة تفاضلية غير خطية، حيث يكون تأثير الاحتباس الحراري غير خطي بناءً على درجة حرارة الأرض الحالية.
2- كما يمكن حساب إجمالي التكاليف المتغيرة من خلال المعادلة الرياضية الخطية: y = m * s
حيث:
- y: اجمالي التكاليف المتوقعة.
- m : معدل التكلفة للعنصر الواحد.
- s: عدد العناصر المراد حساب تكلفتها. (التميمي، 2023 أغسطس 7).
ماهي الاستراتيجية التي ستتبعها لرسم نظم المعادلات الخطية والغير خطية؟
لرسم نظم المعادلات الخطية والغير خطية، هناك استراتيجيات مختلفة يمكن اتباعها. وفيما يلي توضيح للاستراتيجية التي سنتبعها في رسم نظم المعادلات الخطية هي:نقوم بتحويل المعادلات الخطية إلى صيغة الميل-التقاط (slope-intercept) \(y = mx + b) لتسهيل الرسم.
حيث نرسم الخطوط باستخدام الميل (m) ومعامل التقاط (b).
بينما في نظم المعادلات غير الخطية:
- نقوم بحساب قيم للمتغيرات ورسم النقاط المتناثرة.
- ثم نرسم المنحنيات التي تمر عبر هذه النقاط.
- وبعد ذلك نقوم بتحليل الخصائص الرياضية للنظام لتحديد السلوك المتوقع. مثل نقاط التقاطع والتقاطعات المشتركة.
- كما يمكننا الاستفادة من الأدوات الرسومية. كاستخدم البرامج التفاعلية مثل Desmos لرسم النظم بسهولة وتحريك المعادلات بحرية.
- بعد الرسم، نقوم بالتحقق من الحلول الممكنة للنظام ونتأكد من توافقها مع المناطق التي تم رسمها.
بتنفيذ هذه الاستراتيجيات، يمكنك فهم أفضل لنظام المعادلات وتحليله بشكل أكبر دقة.
المراجع.
- التميمي، غيداء. (2023 أغسطس 7). تطبيقات من حياتنا اليومية على المعادلات الخطية. موقع موضوع. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/IA9UY9j.
- ملص، ياسمين. (2022). أنواع المعادلات الرياضية. تم الاسترجاع من الرابط التالي: https://cutt.us/BxqDg.