الدوال المثلثية في علم المثلثات.
الدوال المثلثية من أهم محاور علم المثلثات. والذي يعد أحد فروع الرياضيات الذي يهتم بالزوايا وتطبيقها على الحسابات. وهناك ست دوال مثلثية في علم المثلثات هي الجيب (Sin) وجيب التمام (Cos) والظل (Tan) وظل التمام (Cot) والقاطع (Sec) وقاطع التمام (Csc).
وقد تم اشتقاق هذه الدوال المثلثية الست بالنسبة إلى المثلث قائم الزاوية. وقد
تطور علم المثلثات بسبب الحاجة لحساب الزوايا والمسافات في مجالات علمية عديدة.
مثل علم الفلك ورسم الخرائط والمسح واكتشاف نطاق المدفعي" (الرجبي،
2022).
علم حساب المثلثات يرتبط ارتباطاً وثيقاً بالهندسة. من خلال العديد من النظريات. والتي من أهمها نظرية فيثاغورس.
ويرتبط كذلك بالمثلثات من خلال التشابه وتطبيقاته المستخدمة في حساب المثلثات. عن طريق قياس الزوايا وتناسب الأضلاع. وكذلك الدوال المثلثية الأساسية والمثلثية العكسية المستخدمة في المثلث القائم الزاوية بوجه خاص. والمثلثات المختلفة بوجه عام. وكذلك تطبيقات علم حساب المثلثات على دائرة الوحدة.
في ضوء العرض السابق تناول الأسئلة الآتية:
في الشكل المقابل: المثلث ABC يشابه المثلث LMN ، أوجد قيم العناصر المتناظرة؟
الحل:
إذا كانت المثلثات ABC وLMN متشابهين، يمكننا استخدام التناسب لحساب الأطوال المتناظرة في المثلث LMN. النسبة بين طول الضلعين المتناظرين هي نفسها للضلع الثالث.
1. الأضلاع:
( AB/LM = BC/MN = AC/LN= 3/6 =1/2) وبالتالي نسبة التشابه هي (1/2).
2. الزوايا:
- زاوية A تتساوى مع زاوية L.
- زاوية B تتساوى مع زاوية M.
- زاوية C تتساوى مع زاوية N.
الآن نقوم بحساب النسبة واستخدامها لحساب الأطوال المتناظرة:
- (AB/LM =3/6= 1/2).
- (BC/MN = 6/MN) (نجهل قيمة طول MN).
- (2/ AC/LN =AC) (نجهل قيمة طول AC).
نستخدم النسبة المعروفة لحساب الأطوال المتناظرة:
- ( AB/LM = 1/2).
إذاً: ( LM = AB/(1/2)= 3*2 = 6cm) .
أي LM=6 cm وهي معطاة في الفرض.
BC/MN = 6/ MN= 1/2.
إذاً MN=12cm .
( AC/LN =?/9 = 1/2).
إذا AC= LN*(3/6)= 9*(1/2)= 4.5 cm.
إذاً، الأطوال المتناظرة هي:
- ( LM =6) سم.
- ( MN = 12) سم.
- ( AC = 4.5) سم.
ناقش ترتيب الأرباع على دائرة الوحدة وعلاقة ذلك بإشارات الدوال المثلثية الأساسية . وما الذي يمثله الزوج المرتب (x,y)؟
الحل:
لفهم ترتيب الأرباع على دائرة الوحدة وعلاقته بالدوال المثلثية الأساسية. دعونا نتناول المعلومات التي قدمتها ونستعرض الزوايا المختلفة على دائرة الوحدة.
لنفترض أن لدينا نقطة (P) على محيط الدائرة الوحدة بإحداثيات ((x, y)). ولدينا أن نصف قطر الدائرة الواصل بين مركز الدائرة (M) والنقطة (P) هو 1. إذاً، نقوم بتكوين مثلث قائم الزوايا.
النقطة (M) هي مركز الدائرة. ونعلم أن نصف قطر الدائرة هو 1. لذلك موقع (M) على محور (x) هو (1, 0).
النقطة (P) هي نقطة على محيط الدائرة بإحداثيات ((x, y)). النصف الثاني من القطر، الذي يمر عبر (P) و (M). هو وتر للمثلث القائم الزاوي الذي تكونه مع المحورين (x) و (y). إذاً، يكون ذلك المثلث قائم الزاوية.
الزاوية بين المحور (x) والوتر هي زاوية (θ)، ويمكن حسابها باستخدام الدوال المثلثية: [ tan(θ) = y/x ].
الآن، نركز على قيمة tan(θ).
- إذا كانت (x > 0) و (y > 0) (في الربع الأول): يكون (tan(θ) > 0).
- إذا كانت (x < 0) و (y > 0) (في الربع الثاني): يكون (tan(θ) < 0).
- إذا كانت (x < 0) و (y < 0) (في الربع الثالث): يكون (tan(θ) > 0).
- إذا كانت (x > 0) و (y < 0) (في الربع الرابع): يكون (tan(θ) < 0).
لذا، يمكن تلخيص العلاقة بين الأرباع الأربعة وقيمة (tan(θ)) كالتالي:
- الربع الأول: (x > 0), (y > 0), (tan(θ) > 0).
- الربع الثاني: (x < 0), (y > 0), (tan(θ) < 0).
- الربع الثالث: (x < 0), (y < 0), (tan(θ) > 0).
- الربع الرابع: (x > 0), (y < 0), (tan(θ) < 0).
هذه العلاقة تظهر ترتيب الأرباع على دائرة الوحدة وكيف يتغير اتجاه الدوال المثلثية الأساسية في كل ربع.
المراجع.
- الرجبي، لينا.(2022). الدوال المثلثية. موقع موضوع. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/gWBkB.
- .https://www.britannica.com/science/Pythagorean-theorem.
الواجب الكتابي.
انتظر حتى يكتمل التحميل 👇
------------------------------------------------------------------------
مجلة التعلم.
الدوال المثلثية هي دوال لزاوية هندسية، ذات أهمية من أجل دراسة المثلثات، أو من أجل عرض ظواهر دورية مثل الموجات، ويمكن تعريفها كنسبة بين أضلاع مثلث قائم يتضمن تلك الزاوية (عبد، 2015، ص 1).لفهم مفاهيم الدوال المثلثية نحتاج إلى التعرف على العديد من المفاهيم مثل:
1. الزوايا في المثلثات: وهي القائمة والحادة والمنفرجة والمستقيمة
2. النسب المثلثية: والتي تعتمد عند حسابها على الوتر والضلع المجاور للزاوية والضلع المقابل للزاوية.
3. الدوال المثلثية هي مجموعة من الدوال التي ترتبط بالنسب بين طولي الأضلاع في المثلث وزواياه. هناك ثلاثة دوال مثلثية رئيسية وهي (الرحيمي، 2021، ص4):
- الجيب (Sine) تمثل النسبة بين طول الضلع المقابل لزاوية معينة والوتر في المثلث. sin(θ) = مقابل / وتر
- جيب التمام (Cosine) تمثل النسبة بين طول الضلع المجاور لزاوية معينة والوتر. cos(θ) = مجاور / وتر
- المماس (Tangent) تمثل النسبة بين طول الضلع المقابل لزاوية معينة والضلع المجاور. tan(θ) = مقابل / مجاور.
4. المثلثات المماثلة: وهي المثلثات التي لها نسب زوايا متساوية.
5. تمثيل الدوال المثلثية على المستوى البياني: الرسم البياني للدوال المثلثية.
إن استيعاب وفهم هذه المفاهيم سيساعدنا على فهم الدوال المثلثية وكيفية استخدامها في حسابات الزوايا والأطوال في المثلثات.
ما هي أبسط دالة مثلثية التي تستطيع تخيلها؟
أبسط دالة مثلثية هي الجيب (Sine)، وتُرمز إليها بالرمز "sin". الدالة الجيبية تمثل النسبة بين الضلع المقابل لزاوية في مثلث والوتر (الضلع الأطول في المثلث). عندما يكون لديك مثلث قائم الزاوية.
يمكن التعبير عنها بالرمز sin(x) ، هذه الدالة تأخذ زاوية كمدخل (بالراديان أو الدرجات). وتعيد قيمة الجيب المقابل لهذه الزاوية.
لفهم الجيب، يمكن استخدام التعريف الأساسي التالي: {الوتر} / {الضلع المقابل للزاوية} = sin(θ)حيث:
- (θ) هي الزاوية.
- الضلع المقابل للزاوية هو الضلع الذي يكون مقابل الزاوية المعنية.
- الوتر هو الضلع الطويل في المثلث القائم.
حيث أن الضلع المقابل للزاوية في المثلث القائم عند الزاوية القائمة يكون يساوي الوتر، لذا نحصل على (1).
بشكل عام، الدالة الجيبية تأخذ قيم بين -1 و1، وهي مفيدة في دراسة الظواهر المتكررة مثل الحركة الدورية والموجات.
وفي أنشطتك اليومية هل يوجد أي حقيقة تستطيع تفسيرها كنمط دوري؟
هناك العديد من الأنشطة في حياتنا اليومية يمكن تفسيرها كنمط دوري. بعض الأمثلة على ذلك نذكر حركة عقارب الساعة التي تتبع نمطاً دورياً حيث تكمل دورة كاملة في الساعة. ويمكن استخدام الدالة المثلثية لتوضيح حركة عقارب الساعة.
في هذه الحالة، يتمثل الزمن في دورة كاملة (12 ساعة)، ونقسم دائرة الساعة إلى 360 درجة (لأن هناك 12 ساعة في دورة كاملة وكل ساعة تمثل 30 درجة).
للتعبير عن حركة عقارب الساعة باستخدام الدالة المثلثية، يمكن استخدام الدالة الجيب (Sine) مع توجيه الزاوية بشكل مناسب. إذا اعتبرنا أن الزاوية تبدأ من الساعة 12 وتزيد في اتجاه حركة عقارب الساعة، فإن الزاوية (θ) تتغير بمرور الوقت.يمكن التعبير عن حركة عقارب الساعة باستخدام الجيب كالتالي: (عدد الساعات المنقضية ×ﹾ 30) = (θ)
ثم يمكن استخدام الدالة الجيب: (عدد الساعات المنقضية ×ﹾ Sin(θ) =sin ( 30
هذا يمثل تغير زاوية حركة عقارب الساعة بمرور الوقت بشكل دوري على مدار 12 ساعة. ويظهر نمطًا دوريًا يمكن تمثيله باستخدام الدالة المثلثية.هذا أحد الأمثلة العامة، ويمكن العثور على العديد من الأنماط الدورية في مختلف جوانب حياتنا اليومية والطبيعية.
وماهي الاستراتيجية التي ستتبعها لرسم الدوال المثلثية؟
لرسم الدوال المثلثية مثل الجيب (Sine)، التمام (Cosine)، والمماس (Tangent)، يمكن اتباع استراتيجية مبسطة تشمل الخطوات التالية:- تحديد نطاق الزاوية الذي نرغب في تمثيل الدالة فيه. عادةً ما يكون النطاق من 0 إلى 360 درجة أو من -180 إلى 180 درجة.
- تحديد وحدة الزاوية التي نريد استخدامها، مثل درجة واحدة أو 5 درجات. هذا يساعد في توضيح الرسم البياني.
- حساب قيم الدوال (الجيب، التمام، المماس) لكل زاوية في النطاق المحدد باستخدام الوحدة التي نريدها. ثم نستخدم القيم المعتادة للدوال في الزوايا المعروفة (مثل 0 درجة، 30 درجة، 45 درجة، إلخ) للمساعدة في الحساب.
- رسم الرسم البياني من خلال استخدام أحد برامج رسم البيانات. أو نقوم برسم الدالة على الورق. حيث نقوم بتمثيل القيم المحسوبة للدوال على محور الزوايا ومحور القيم.
- تنسيق الرسم البياني بإضافة عناصر إضافية إلى الرسم البياني لتوضيح الفهم، مثل الخطوط المساعدة، ووحدات الزوايا، والتسميات.
- تكرار العملية في حال الرغبة في رسم الدوال على نطاق أو وحدة زاوية مختلفة. نقوم بتكرار العملية باختيار نطاق زاوية جديد أو وحدة زاوية جديدة.