العينة والمتغير العشوائي.
إن توزع العينة هو توزيع جميع الاحتمالات الممكنة لقيم إحصائية
معينة، مثل المتوسط أو التباين. تم حسابها من عينات عشوائية من نفس مجتمع
المصدر.
يشير توزيع العينة إلى الطريقة التي يتم بها توزيع القيم داخل
العينة المستخدمة. في الدراسة أو التحليل بواسطة الإحصاء. في جميع العينات
الممكنة بحجم واحد ونفس المجتمع (أبو حسان، 2022).
بينما المتحول العشوائي هو دالة قابلة للقياس تربط بين كل نقطة أو عنصر في
فضاء العينة (نتائج التجربة) وقيمة رقمية على خط الأعداد الحقيقية. ويرمز
له بالرمز X.
ويكون المتغير العشوائي على شكلين هما المتغير العشوائي المنفصل والمتغير العشوائي المتصل (منقطع ومستمر). (حليمة، 2020، ص47).
توزيع العينة والمتحول العشوائي هما مفاهيم مرتبطة بتقنيات جمع البيانات في البحث العلمي والإحصاء.
اقرأ أيضاً ماهو الفرق بين المتغير العشوائي البرنولي, البواسوني, المنتظم والأسي.
تعد دراسة توزيع العينة والمتغير العشوائي من النواحي المشتركة بين تحليل
البيانات والإحصاء أمرًا أساسيًا. حيث تصبح فهم مفاهيم توزيع العينة والمتغير
العشوائي أمرًا لا غنى عنه. لكل من يسعى إلى استخلاص المعرفة واتخاذ القرارات
السليمة.
على الرغم من أنهما يختلفان في طبيعتهما واستخداماتهما. إلا أنهما يشتركان في بعض الجوانب الأساسية. التي تساهم في فهم البيانات واستنتاج النتائج الإحصائية. سنستكشف في هذا النص أوجه التشابه بين توزيع العينة والمتغير العشوائي.
ماهو وجه الشبه بين توزع العينة وبين المتحول العشوائي؟
توزيع العينة والمتغير العشوائي هما مفاهيم مختلفة في إحصاء العينات، وهنا
يمكن توضيح أوجه الشبه بينهما مع استخدام الأمثلة والدلائل: (النعيمي
وطعمة،2008)
- العشوائية في الاختيار: في توزيع العينه. يتم اختيار العناصر من السكان الكلي بطريقة عشوائية. حيث تكون كل العناصر معرضة للاختيار بنفس الفرصة. بالمثل. في المتحول العشوائي. يتم اختيار الأفراد أو الوحدات التي ستخضع للتجربة بشكل عشوائي. دون أي تحيز مسبق.
- التمثيل العادل: في كلا الحالتين. الهدف هو الحصول على عينة أو مجموعة من البيانات تمثل السكان الكلي بشكل عادل. دون تحيز. مثلاً. عندما نرغب في تقدير متوسط الطول للسكان في بلد معين. فإن اختيار العينة بشكل عشوائي يسمح بتمثيل مختلف الفئات العمرية والجنسية والاجتماعية بشكل عادل.
- الموثوقية الإحصائية: سواء كانت عينة في توزيع العينة أو المتحول العشوائي. تهدف كلا التقنيتين إلى تحقيق موثوقية إحصائية في النتائج. على سبيل المثال. إذا أجريت تجربة عشوائية لقياس تأثير دواء معين على مجموعة من المرضى. فإن اختيار المرضى بشكل عشوائي يعزز موثوقية النتائج ويساهم في تحديد تأثير الدواء بدقة.
باختصار. يمكن القول إن الشبه الرئيسي بين توزيع العينة والمتحول العشوائي
يكمن في الاعتماد على العشوائية في عملية الاختيار لضمان التمثيل العادل
والموثوقية الإحصائية للبيانات المجمعة.
مثال عن توزيع العينة نذكر متوسط ارتفاع الطلاب:
يمكننا حساب متوسط ارتفاع الطلاب في فصل دراسي معين.
إذا أخذنا عينات عشوائية من نفس الفصل. فسيختلف متوسط ارتفاع كل عينة. حيث يأخذ قيماً مختلفة تبعاً لطول الطالب المختار فيكون القيمة 165 سم أو 169سم أو أي قيمة بينهما. وبالتالي فطول الطالب يعتبر متحول أو متغير عشوائي. لأنه يأخذ قيماً مختلفة تبعاً لنتيجة التجربة (الصياد، 1983، ص43).
يصف توزع العينة احتمالية ظهور كل متوسط ارتفاع ممكن في العينات
العشوائية.
مثال عن المتحول العشوائي نذكر نتيجة رمي قطعة نقدية:
لها نتيجتان الصورة ((F والكتابة (P). حيث يمكننا ربط كل نتيجة (رأس أو
كتابة) ب الحرفين ((F و(P). ويصف المتحول العشوائي احتمالية ظهور كل نتيجة
(حليمة، 2020، ص7).
مما سبق نجد أن كلاهما يستخدم دالة الاحتمال لوصف احتمالية وقوع قيم
مختلفة في كل من توزع العينة والمتحول العشوائي.
- كلاهما يستخدم خصائص إحصائية مثل المتوسط والتباين لوصف كل من توزع العينة والمتحول العشوائي.
- كلاهما يستخدم في نظرية الاحتمالات لدراسة كل من توزع العينة والمتحول العشوائي. اما الفرق بين توزع العينة وبين المتحول العشوائي فإن توزع العينة يصف احتمالية وقوع قيم إحصائية معينة في العينات العشوائية. بينما المتحول العشوائي يصف احتمالية وقوع نتائج محددة في تجربة عشوائية.
في الختام يُعدّ فهم كل من توزع العينة والمتحول العشوائي ضروريًا لفهم
نظرية الاحتمالات والإحصاء.
المراجع.
- أبو حسان، حسان. (2022). التوزيعات الاحتمالية – محاضرة 1. دورة تدريبية متوسطة المدى حول تصميم العينات ومنهجيات المسوح في الإحصاءات الرسمية. المعهد العربي للتدريب والبحوث الإحصائية. ملف ppt. تم الاسترجاع من الرابط http://www.aitrs.org/sites/default/files/Lec1_SampDist_10052022.pdf.
- الصياد، جلال. (1983). مبادئ الطرق الإحصائية. ط1. السعودية: دار تهامة للنشر والتوزيع.
- حليمة، عز الدين. (2020). محاضرات في الإحصاء (2). مطبوعة موجهة لطلبة السنة الأولى. جذع مشترك علوم اقتصادية، علوم تجارية وعلوم التسيير. جامعة الجزائر.
----------------------------------------------------------------------------------------------
الواجب الكتابي .
---------------------------------------------------------------------------------------------------
مجلة التعلم.
حل التمرين التالي:
إذا علمت ان المتغير العشوائي X موزع بشكل طبيعي. وكان الوسط الحسابي هو μ = 100 . والانحراف المعياري هوσ = 15.
اجب عن الاسئلة الأتيه:
١- احسب قيمة p (x > 120)
بما أن X موزع بشكل طبيعي بمتوسط μ = 100 وانحراف معياري σ = 15، يمكننا تحويل القيمة X إلى قيمة قياسية Z باستخدام الصيغة التالية:
Z = (X - μ) / σ = (x - 100) / 15
نستخدم الصيغة Z = (X - μ) / σ لتحويل قيمة X إلى قيمة قياسية Z.
مع μ = 100 وσ = 15، نحسب Z = (120 - 100) / 15 = 1.33.
ثم نبحث عن قيمة P(Z > 1.33) في جدول التوزيع الطبيعي القياسي، ونجد أنها تقريبًا 0.0918.
وبالتالي، P(X > 120) = 1 - P(X ≤ 120) = 1 - 0.0918 = 0.9082.
تعتمد هذه الطريقة على تحويل القيمة X إلى قيمة قياسية Z باستخدام الصيغة Z = (X - μ) / σ، ثم البحث عن قيمة P(Z > 1.33) في جدول التوزيع الطبيعي القياسي.
الخطوات:
- تحويل X إلى Z: Z = (120 - 100) / 15 = 1.33
- البحث عن P(Z > 1.33) في جدول التوزيع الطبيعي القياسي: P(Z > 1.33) ≈ 0.0918
- حساب P(X > 120): P(X > 120) = 1 - P(Z ≤ 1.33) = 1 - 0.0918 = 0.9082
٢- احسب قيمة k حيث ان P (X < k) = 0.98، فسر نتيجتك.
مرة أخرى، نستخدم الصيغة Z = (X - μ) / σ لتحويل القيمة X إلى قيمة قياسية Z.
0.98 = P(Z < k) = 1 - P(Z > k)
حساب قيمة k حيث P(X < k) = 0.98:
نستخدم الصيغة Z = (X - μ) / σ لتحويل قيمة X إلى قيمة قياسية Z.
نبحث عن قيمة Z التي تحقق P(Z < z) = 0.98 في جدول التوزيع الطبيعي القياسي، ونجد أنها تقريبًا 2.055.
باستخدام Z = (k - 100) / 15 والقيمة المعروفة ل Z، نحسب k = 2.055 * 15 + 100 = 130.825.
وبالتالي، القيمة k التي تحقق P(X < k) = 0.98 هي تقريبًا 130.825.
تفسير النتيجة:
هذا يعني أن هناك احتمالية بنسبة 98٪ أن قيمة المتغير العشوائي X تكون أقل من 130.825 وفقًا لتوزيعه الطبيعي مع متوسط 100 وانحراف معياري 15.
بمعنى آخر، إذا كان لدينا توزيعًا طبيعيًا لمتغير عشوائي X مع متوسط 100 وانحراف معياري 15، فإن هناك احتمالية بنسبة 98٪ أن تكون قيمة X أقل من 130.825. هذا يعكس النسبة العالية للقيم التي تقع داخل هذا النطاق مقارنة ببقية القيم في التوزيع.
وبالتالي، يمكننا استنتاج أن قيمة k تمثل الحد الذي يفصل بين القيم العالية والمنخفضة للمتغير العشوائي X بنسبة 98٪ وفقًا لتوزيعه الطبيعي.
٣- أوجد القيمتين اللتان يقع بينهما النصف الأوسط ( 50٪) من توزيع X.
يشير النصف الأوسط (50٪) إلى النطاق الذي يحتوي على 50٪ من الملاحظات في التوزيع. بما أن التوزيع الطبيعي متماثل حول المتوسط، فإن النصف الأوسط يقع حول μ.
لتحديد حدود النصف الأوسط، نحتاج إلى إيجاد القيمتين x1 و x2 اللتان تحققان P(X < x1) = 0.25
و P(X < x2) = 0.75
بتحويل هذه الاحتمالات إلى قيم Z، نحصل على:
0.25 = P(Z < z1)
0.75 = P(Z < z2)
لحساب القيمتين التي تحتوي على النصف الأوسط (50٪) من توزيع X، يجب أولاً تحويل القيم إلى قيم قياسية Z باستخدام الصيغة Z = (X - μ) / σ حيث μ = 100 وσ = 15.
ثم نحتاج إلى العثور على القيم Z1 و Z2 التي تحققان P(Z1 < Z < Z2) = 0.50 في جدول التوزيع الطبيعي القياسي.
من الجدول، نجد أن قيم Z1 و Z2 التي تحققان P(0 < Z < Z1) = 0.25 و P(0 < Z < Z2) = 0.75 هي تقريبًا -0.6745 و 0.6745 على التوالي.
باستخدام الصيغة Z = (X - μ) / σ، يمكننا حساب القيم المعادلة لـ X:
للقيمة الأولى:
-0.6745 = (X1 - 100) / 15
X1 = -0.6745 * 15 + 100 = 89.8875
للقيمة الثانية:
0.6745 = (X2 - 100) / 15
X2 = 0.6745 * 15 + 100 = 110.1125
وبالتالي، القيمتين التي تحتوي على النصف الأوسط (50٪) من توزيع X هما حوالي 89.8875 و 110.1125.
ناقش صحة الادعاء التالي:
ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه كلما كبر حجم العينة كلما تركز معدل توزيع العينة حول توقعه بينما تنص نظرية النهاية المركزية على أنه كلما زاد عدد الوحدات التي يجرى عليها التجربة كلما آلت نسبة الاحتمالات المتوقع إلى الاحتمال المحقق لهذه التجربة إلى الواحد الصحيح بمعنى أن يصبح الاحتمال المتوقع مساوياً أو قريباً من الاحتمال المحقق.
هذه المهمة تشير إلى ادعاء يقارن بين مفهومين إحصائيين هما: قانون الأعداد الكبيرة ونظرية النهاية المركزية.
- قانون الأعداد الكبيرة: هو نظرية رياضية مفادها أنه كلما زاد عدد مرات تنفيذ تجربة ما، بهدف اختبار بعض نتائج الاحتمالات، كلما اقترب متوسط النتائج الفعلية من القيمة المتوقعة، أي أنه كلما زاد عدد مرات قياس التجربة المطبقة على عينة، كلما زادت الثقة في نتائج تلك التجربة (الفوركس، د – ت). بمعنى آخر يشير هذا القانون إلى أنه عندما يزداد حجم العينة بما فيه الكفاية، فإن معدل التوزيع للعينة سيتجه نحو توزيع معين بحيث يكون أكثر تركيزاً حول القيمة المتوقعة للمتغير الذي يتم قياسه. أي أنه كلما كبرت العينة، كلما انخفض خطأ الصدفة، وزادت الثقة واليقين في النتيجة، أي يُتوقع أن تكون القيم المدروسة أقرب إلى القيم المتوقعة وعلى العكس لو زاد الفرق والتباين بين مفردات المجتمع سيزيد احتمال حدوث الأخطاء العشوائية (رسلان، د – ت، ص 17).
- نظرية النهاية المركزية: تقول مبرهنة النهاية المركزية أنه عند سحب عينات عشوائية بحجم كبير بشكل كاف مع إرجاع (أي أن عدد عناصر العينة أكبر أو يساوي 30) من مجتمع احصائي له وسط حسابي وانحراف معياري، عندئذ فإن التوزيع الاحتمالي لأوساط العينة سيقترب من التوزيع الطبيعي، بغض النظر عن نوعية التوزيع الاحتمالي إن كان طبيعياً أو لاا (الباحثون السوريون، 2022).
وهذه النظرية تشير إلى أنه عندما يتم اختيار عينة من السكان الكبيرة، فإن توزيع العينة لأي متغير يميل نحو التوزيع وفقاً لتوزيع احتمالي معين وهو عادة التوزيع الطبيعي (القوسي)، حيث تتمثل القيم العشوائية متوزعة حول المتوسط. وبالتالي، يمكن القول إنه كلما زاد حجم العينة، كان من المتوقع أن يقترب توزيع مجموعها بصورة أكبر من التوزيع الطبيعي (بليل، 2020، ص31).
وبتحليل الادعاء السابق يمكن القول أن الادعاء غير دقيق، حيث يقارن بين مفاهيم إحصائية مختلفة ويظهر فهمًا غير صحيح لهذه المفاهيم. حيث إن قانون الأعداد الكبيرة ينطبق على توزيع العينة حول المتوقع، بينما نظرية النهاية المركزية تشير إلى تقارب الاحتمالات المتوقعة والمحققة عندما يكون حجم العينة كبيرًا.
المراجع.
- الباحثون السوريون. (2022). التعميم لمحة عن مبرهنة النهاية المركزية في الإحصاء. الباحثون السوريون. تم الاسترجاع من الرابط https://www.syr-res.com/article/24564.html .
- الفوركس. (د – ت). كيف يؤثر قانون الأعداد الكبيرة على متداولي الفوركس. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/DBrenK.
- بليل، حسيبة. (2020). مطبوعة دروس وتطبيقات محلولة في مقياس الإحصاء 3. تخصص اقتصاد قياسي. قسم العلوم الاقتصادية. كلية العلوم الاقتصادية والعلوم التجارية وعلوم التسيير. جامعة الجزائر 3.
- رسلان، يسرى. (د – ت). الإحصاء. قسم الدراسات السكانية. كلية الآداب. جامعة المنيا. تم الاسترجاع من الرابط https://courses.minia.edu.eg/Attach/11162%D9%85%D9%88%D8%B6%D9%88%D8%B9%D8%A7%D8%AA%20%D8%AD1%20%D9%813.docx.pdf .