قانون الأعداد الكبيرة في الاحصاء.
قانون الأعداد الكبيرة هو أحد المفاهيم الأساسية في نظرية الاحتمالات
والإحصاء. يوضح هذا القانون كيف يمكن للتردد النسبي للأحداث أن يتقارب مع
احتمالها النظري مع زيادة عدد التجارب. هذا المفهوم يشكل الأساس لكثير من
التطبيقات العملية في الإحصاء والمجالات ذات الصلة.
من منظور إحصائي. يُشير قانون الأعداد الكبيرة إلى أنه مع تكرار إجراء تجربة
عشوائية بشكل كافٍ. فإن متوسط النتائج أو التردد النسبي للأحداث سيقترب من
القيمة المتوقعة نظريًا. بعبارة أخرى. على الرغم من التباين الذي قد يحدث عند
عدد قليل من التجارب. فإن العشوائية تميل إلى التوازن مع الوقت. مما يؤدي إلى
نمط متسق يمكن التنبؤ به.
اقرأ أيضاً العينة والمتحول العشوائي - ما هو وجه الشبه بين توزع العينة وبين المتحول العشوائي. unit 7.
ما معنى قانون الأعداد الكبيرة؟
قانون الأعداد الكبيرة هو مبدأ رياضي في نظرية الاحتمالات والإحصاء يشير إلى أنه
مع زيادة عدد التجارب العشوائية. فإن المتوسط (أو التردد النسبي) للنتائج من تلك
التجارب يقترب من القيمة المتوقعة أو الاحتمالية النظرية.
بمعنى آخر.
عند إجراء تجربة عشوائية مرات عديدة. فإن النتيجة التي تحصل عليها ستقترب من
القيمة المتوقعة.
أنواع قانون الأعداد الكبيرة.
هناك نسختان من قانون الأعداد الكبيرة:
- ✨ نسخة ضعيفة: تشير إلى أن التردد النسبي يقترب من القيمة المتوقعة مع زيادة عدد التجارب. ولكن قد تكون هناك تقلبات.
- ✨ نسخة قوية: تشير إلى أن التردد النسبي سيقترب تقريبًا بشكل أكيد من القيمة المتوقعة مع زيادة عدد التجارب. حتى إذا كانت هناك تقلبات في البداية.
أهمية قانون الأعداد الكبيرة.
قانون الأعداد الكبيرة يوفر الدعم النظري للكثير من الإجراءات في مجال الإحصاء.
على سبيل المثال. في حالات جمع البيانات وتحليلها. يمكن الاعتماد على قانون
الاعداد الكبيرة. لتوفير أساس منطقي للافتراضات التي نستخدمها في تقدير المعلمات
السكانية (population parameters) بناءً على عينات.
مثال على قانون الأعداد الكبيرة.
- ✨ عند رمي قطعة نقود متوازنة. فإن احتمال الحصول على وجه أو ظهر هو 0.5. إذا رميت قطعة النقود مرتين فقط. قد تحصل على وجهين أو ظهرين. وهذا لا يعكس بالضرورة الاحتمال النظري. ولكن مع رمي قطعة النقود مئات أو آلاف المرات. ستجد أن التردد النسبي للوجوه والظهور يقترب من 0.5.
- ✨ في لعبة النرد. حيث احتمالات الأرقام من 1 إلى 6 متساوية. إذا رميت النرد عددًا قليلًا من المرات. قد تجد توزيعًا غير متساوٍ للأرقام. ولكن إذا رميته آلاف المرات. سيقترب التوزيع النسبي لكل رقم من سدس العدد الإجمالي. وهو القيمة المتوقعة.
تطبيقات عملية لقانون الأعداد الكبيرة.
تطبيقات قانون الأعداد الكبيرة واسعة النطاق، تشمل:
- ☑ التجارب المعملية: حيث يتم إجراء تجارب عديدة لتحديد سلوك أو خاصية معينة، مثل معدل التفاعل الكيميائي أو نتائج اختبارات معينة.
- ☑ ألعاب الحظ: مثل القمار أو اليانصيب، حيث يُستخدم القانون لفهم التوقعات على المدى الطويل وتقدير احتمالات الربح أو الخسارة.
- ☑ الاقتصاد والإدارة: حيث تُستخدم البيانات الضخمة لاتخاذ قرارات استراتيجية بناءً على تحليلات إحصائية.
تطبيق قانون الأعداد الكبيرة على حادثة عشوائية.
يقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشوائية يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشوائية۔ هل هذا القانون يطبق عند إلقاء قطعة نقود متوازنة لألف مرة؟ لماذا؟
الإجابة.
نعم. يطبق قانون الأعداد الكبيرة على إلقاء قطعة نقود متوازنة لألف مرة. قانون
الأعداد الكبيرة يشير إلى أنه كلما زاد عدد المحاولات أو التجارب العشوائية. كلما
اقترب التردد النسبي لحدوث حادثة معينة من احتمالها النظري.
➰ في حالة إلقاء قطعة نقود متوازنة. يكون لدينا احتمال نصف للحصول على وجه الشيء
ونصف. للحصول على العملة الأخرى. عند إلقاء القطعة لألف مرة. يتوقع أن يكون هناك
تقريباً نصف الألف مرة. للحصول على وجه الشيء ونصف الألف مرة للحصول على العملة
الأخرى. وهذا يتوافق مع الاحتمال النظري.
على الرغم من أنه يمكن أن
يحدث انحراف بسيط نتيجة للعوامل العشوائية الفعلية. إلا أن هذا الانحراف يصبح أقل
بشكل كبير كلما زاد عدد المرات التي يتم فيها إلقاء القطعة.
وللإيضاح نورد السبب بشرح بعض المفاهيم التالية:
✅ التردد النسبي: وسمي بهذا الاسم لأنه يتم حسابه بعد ان نقوم بالتجربة. وهو
عدد مرات حدوث حدث A ما مقسومًا على N عدد مرات تكرار التجربة. ويعطى بالعلاقة
P(A) = عدد مرات وقوع الحادث A / عد مرات التجربة N (عواد وكمرجي، 2020، ص101).
✅ الاحتمال النظري: هو احتمال حدوث حدث ما في تجربة واحدة. وتأتي هذه
التسمية من أنه يمكننا حساب احتمال تحقق حادث او تجربة ما بصورة نظرية قبل القيام
بالتجربة أو الحدث ويعطى بالعلاقة P(A) = عدد المرات المواتية لوقوع A / عدد
المرات الممكنة (عواد وكمرجي، 2020، ص99).
✅ قانون الأعداد الكبيرة:
ينص على أنه مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشوائية. يقترب التردد النسبي لحادثة
عشوائية أكثر فأكثر من احتمالها النظري.
وينص قانون الاعداد الكبيره على أنه (كلما زاد عدد الوحدات التي يجرى عليها التجربة بصورة عشوائية كلما آلت
نسبة الاحتمالات المتوقع إلى الاحتمال المحقق لهذه التجربة إلى الواحد الصحيح
بمعنى أن يصبح الاحتمال المتوقع مساوياً أو قريباً من الاحتمال المحقق) (التأمين
للعرب، 2014 يونيو 8).
في حالة إلقاء قطعة نقود متوازنة:
- ➰ الاحتمال النظري: لظهور كل من الوجه الأمامي والوجه الخلفي هو 0.5 (50٪) (عواد وكمرجي، 2020، ص99).
- ➰ مع ازدياد عدد مرات إلقاء القطعة يزداد عدد مرات ظهور كل من الوجه الأمامي والوجه الخلفي. ويقترب التردد النسبي لظهور كل وجه من 0.5 (50٪).
مثال ✨: إذا تم إلقاء قطعة نقود متوازنة 100 مرة، فمن المتوقع أن يظهر كل
من الوجه الأمامي والوجه الخلفي 50 مرة تقريبًا. قد لا يكون هذا هو ما سيحصل
بالضبط. ولكن مع ازدياد عدد مرات إلقاء القطعة. سيقترب التردد النسبي لظهور كل
وجه من 0.5 (50٪). فعند القائها 1000 مرة فمن المتوقع أن يظهر صورة العملة 500
مرة. ولكن بشكل عملي من المتوقع أن يظهر صورة العملة ما يقارب 491 مرة.
مصدر الجدول (التأمين للعرب، 2014 يونيو 8).
مع العلم قد لا يكون التقارب دقيقًا تمامًا في عدد محدود من التجارب. ولكن
مع ازدياد عدد التجارب. يصبح التقارب أكثر دقة.
مما سبق 💭 يمكننا استنتاج
التالي:
نتفق مع القول أن قانون الأعداد الكبيرة ينطبق عند إلقاء قطعة نقود
متوازنة لألف مرة. إليك السبب:
- تعريف قانون الأعداد الكبيرة: يشير قانون الأعداد الكبيرة إلى أن مع زيادة عدد مرات التجربة العشوائية. التردد النسبي لحدث معين يقترب من احتماله النظري. في حالة قطعة نقود متوازنة. يكون احتمال ظهور الوجه (أو الصورة) 0.5. واحتمال ظهور الظهر (أو الكتابة) أيضًا 0.5.
- إلقاء قطعة نقود ألف مرة: عند إلقاء قطعة نقود متوازنة. كل رمية مستقلة عن الأخرى. والاحتمال النظري لكل من الوجه والظهر هو 0.5. مع زيادة عدد مرات الرمي. يجب أن يقترب التردد النسبي لظهور الوجه (أو الظهر) من 0.5. ومع ألف رمية. ستشهد تقريبًا هذه النتيجة. مع بعض الاختلافات الطفيفة نظرًا للعشوائية الطبيعية في التجربة.
- السلوك المتوقع: على مدى ألف رمية. قد لا تحصل بالضبط على 500 وجهاً و500 ظهراً. قد يكون هناك انحراف طفيف. ولكن النسبة ستكون قريبة من 0.5. كلما زاد عدد مرات الرمي. كلما اقتربت النسبة أكثر من 0.5.
- العشوائية والتقارب: بسبب الطبيعة العشوائية للتجارب. يمكن أن تحدث انحرافات مؤقتة عن النسبة 0.5. لكن قانون الأعداد الكبيرة يضمن أنه مع تكرار التجارب بشكل كافٍ. ستقترب النسبة من القيمة المتوقعة.
وبالتالي ➰ عند إلقاء قطعة نقود متوازنة لألف مرة. يمكنك أن تتوقع أن يقترب التردد النسبي
لظهور الوجه (أو الظهر) من 0.5. وهذا يعكس تطبيق قانون الأعداد الكبيرة.
في
الختام يُعد قانون الأعداد الكبيرة أداة قوية للتنبؤ بنتائج التجارب العشوائية.
بما في ذلك إلقاء قطعة نقود متوازنة. مع ازدياد عدد مرات التجربة. يصبح التردد
النسبي لظهور كل وجه من وجوه القطعة أقرب إلى احتمالها النظري (50٪).
في المجمل، يمثل قانون الأعداد الكبيرة قاعدة أساسية. لفهم كيفية عمل العشوائية. وكيف يمكن استخدام الإحصاء لتقديم تقديرات دقيقة بناءً على البيانات المتاحة. مما يوفر إطارًا قويًا للتطبيقات العملية في العديد من المجالات.
المراجع.
- التأمين للعرب. (2014 يونيو 8). قانون الأعداد الكبيرة والتأمين. موقع التأمين للعرب. تم الاسترجاع من الرابط https://www.insurance4arab.com/2014/06/blog-post_8.html.
- عواد، منذر وكمرجي، حسام. (2020). الإحصاء والاحتمالات. من منشورات الجامعة الافتراضية السورية. تم الاسترجاع من الرابط https://pedia.svuonline.org/pluginfile.php/2550/mod_resource/content/8/GMA402.pdf.
------------------------------------------------------
الواجب الكتابي
اتظر حتى يكتمل التحميل 👇