أنماط التعلم - ما هي أنماط التعلم لدى المتعلمين

ما هو تعريف المعدلات المرتبطة؟

المُعدلات المرتبطة هي طريقة رياضية تُستخدم لتحليل العلاقة. بين معدلات تغير الكميات المختلفة التي تعتمد على بعضها البعض. تُطبق هذه الطريقة عادةً عندما تكون الكميات مرتبطة ببعضها بعلاقة رياضية (مثل الدوال أو المعادلات الهندسية). 

ويتم تحديد معدل تغير كمية واحدة بالنسبة للزمن باستخدام العلاقة الرياضية ومعدلات التغير الأخرى.

ويمكننا ذكر بعض الأمثلة الشائعة مثل:

• ملء خزان ماء: العلاقة بين معدل تغير حجم الماء في خزان ومعدل تغير ارتفاع الماء.
• حركة جسم على الأرض: العلاقة بين معدل تغير المسافة الأفقية والمسافة العمودية باستخدام نظرية فيثاغورس.
• زاوية النظر: العلاقة بين معدل تغير زاوية الرؤية ومعدل تغير المسافة بين المشاهد والجسم المتحرك.

خطوات حل مسائل المُعدلات المرتبطة

أما خطوات حل مسائل المُعدلات المرتبطة فهي مبينة كما يلي:

1. صياغة العلاقة الرياضية: إيجاد العلاقة التي تربط الكميات المتغيرة (مثل نظرية فيثاغورس. حجم المخروط. إلخ).
2. التفاضل الضمني: إيجاد معدلات التغير باستخدام المشتقات بالنسبة للزمن (t). فيستخدم الاشتقاق الضمني قاعدة السلسلة. ويمكننا من استنتاج مشتقة كمية معينة بالنسبة لواحدة الزمن وذلك عن طريق استخدام الدوال المعرفة ضمنياً (نجوى، د – ت).
3. التعويض بالقيم المعروفة: تعويض القيم المحددة للكميات أو المعدلات للحصول على المعدل المطلوب.

إنشاء/كتابة مشكلة مُعدلات مرتبطة أصلية ذات صلة مع وضع الموضوع في الاعتبار.

المشكلة: تغير مستوى الماء في خزان مخروطي الشكل

لنفترض أن لدينا خزانًا مائيًا على شكل مخروط قائم، حيث نصف قطر قاعدته r = 5 أمتار وارتفاعه h = 12 مترًا. يتم ضخ الماء في الخزان بمعدل ثابت قدره 3 m3/min3.

1. إذا كان مستوى الماء في الخزان يرتفع إلى ارتفاع h_w متر. وكانت قاعدة الماء في تلك اللحظة دائرة بنصف قطر r_w متر. فكيف يرتبط كل من h_w و r_w بالخزان الأصلي؟
2. ما المعدل الذي يرتفع به مستوى الماء (dh_w/dt) عندما يكون ارتفاع الماء الحالي h_w = 6 أمتار؟

العلاقة الرياضية:

• حجم المخروط هو: V = 1/3 π r_w^2 h_w
• نظرًا لأن المخروط متماثل. فإن النسبة بين نصف القطر r_w وارتفاع الماء h_w تتناسب مع نسبة نصف القطر والارتفاع الأصليين للخزان: أي r_w/h_w = 5/12

المطلوب:

• إيجاد علاقة بين h_w و r_w باستخدام النسب.
• تطبيق معدل التغير dV/dt=3 m3/min لإيجاد dh_w/dt عند h_w = 6 m) ),

اقرأ أيضاً كيف يُمكن استخدام التكامل المحدود لتحديد الربح خلال فترة معينة؟- واجبات Unit 8 تفاضل وتكامل.

اقرأ أيضاً الكتابة الرياضية - كيف تستخدم طريقة نيوتن لحساب الجذور التربيعية؟ - واجبات unit 7 تفاضل وتكامل.

المراجع.

1. نجوى. (د – ت). شارح الدرس: المعدلات الزمنية المترابطة. تم الاسترجاع من الرابط https://www.nagwa.com/ar/explainers/950171357806/

--------------------------------------------------------

الواجب الكتابي.

ما هي خصائص الدالة اللوغاريتمية والدالة الأسية؟

من خواص الدوال الأسية واللوغاريتمية نذكر ان الدالة الأسية هي دالة تقبل الاشتقاق على R . ومشتقاتها بشكل عام هي ('(exp(x))=exp(x)). والدالة الأسية هي دالة مستمرة ومتزايدة على R. 

كما أن الدالة اللوغاريتمية هي دالة قابلة للاشتقاق على R . ومشتقاتها بصورة عامة هي ln'(x) = 1/x لكل x ЄR (البرقلي، د – ت، ص273).

أولاً - حل المعادلة من أجل x إذا علمت أن log 2( 4^x) = 16؟

لحل المعادلة: log_2(4^x) = 16 نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: استخدام خواص اللوغاريتمات

log_a(b^c) = c * log_a(b),

يمكننا تبسيط المعادلة: log_2(4^x) = x * log_2(4).

الخطوة 2: إيجاد log_2(4)

نلاحظ أن 4 = 2^2، وبالتالي:

log_2(4) = log_2(2^2) = 2.

الخطوة 3: استبدال log_2(4) في المعادلة 

فتصبح: x⋅2=16

حل المعادلة نقسم الطرفين على 2: x=16/2=8 وبالتالي : x = 8

طريقة أخرى :

❎ تبسيط التعبير اللوغاريتمي  :   

 [ (4^x) = (2^2)^x = 2^(2x) ]

❎ يمكننا إعادة كتابة المعادلة بالشكل : 

log_2 (2^(2x)) = 16

❎ استخدام قاعدة اللوغاريتم :

  log_b (b^(a)) = a

حيث استبدلنا 2x ب a، وبالتالي 2x=16.

❎ حل المعادلة لايجاد قيمة x:

  x = (16/2) = 8

ثانياً - أوجد مشتقة الدالة f(x) = (e^3x)^4 بطرق مختلفة، ومشتقة g(x) = ln (x^3) بطرق مختلفة أيضاً ؟

السؤال الأول: إيجاد مشتقة f(x)=(e3x)4 .

الطريقة الأولى: استخدام قاعدة السلسلة مباشرةً

• اكتب الدالة على شكل:        f(x)=[u(x)]^4 حيث    u(x)=e^3x u .
• باستخدام قاعدة السلسلة:      f′(x)=4[u(x)]^3*u′(x) .
• مشتقة u(x)=e^3x هي:    u′(x)=3e^3x .
• بالتعويض ينتج لدينا:         f′(x)=4(e^3x)^3⋅ 3e^3x =12(e^3x)^4 .

الطريقة الثانية: تبسيط الدالة أولاً

• بسّط الدالة إلى f(x)=e^12x لأن الأسس تُضرب عند تربية الأُسِّيات.
• مشتقة f(x)=e^12x هي: f′(x)=12e^12x.

الطريقة الثالثة: باستخدام قاعدة القوة وقاعدة السلسلة.

لنطبق قاعدة السلسلة، أولاً نطبق قاعدة القوة:

f '(x) =4* (e^3x)^3*d/dx (e^3x)

f '(x) =4 * (e^3x)^3 * (e^3x)

f '(x) =12 * (e^3x)^4

f '(x) =12 * (e^12x)


بالمختصر لإيجاد مشتقة f(x)=(e^3x)^4 :

يمكن إعادة كتابة الدالة بالشكل : f(x)=(e^3x)^4 = e^12x

الآن نشتق مباشرة باستخدام قاعدة السلسة f '(x) =d/dx (e^12x) = 12* e^12x

السؤال الثاني: إيجاد مشتقة g(x) = ln(x^3).

الطريقة الأولى: تبسيط الدالة

باستخدام خصائص اللوغاريتمات يمكن تبسيط التعبير:

• بسّط الدالة باستخدام خاصية: ln(a^b) = b*ln(a) .
• مشتقة:             g(x)=3ln (x) .
• الآن نشتق:         g' (x) = 3 * (1/x) = 3/x .

الطريقة الثانية: باستخدام قاعدة السلسلة مباشرةً.

• اكتب الدالة على شكل: g(x)=ln (u(x)), حيث u(x)=x^3 .
• باستخدام قاعدة السلسلة     g′(x)=(1/u(x))⋅u′(x) .
• مشتقة                   u(x)=x^3 هي u′(x)=3x^2 .
• بالتعويض:            g′(x)= (1/x^3) * 3x^2=3/x .

الإجابات النهائية:

• مشتقة f(x)=(e^3x)^4 هي: f′(x)=12(e^3x)^4 أو f′(x)=12e^12x .
• مشتقة g(x)=ln (x3) هي: g′(x)=3x .

ثالثاً - اذا استثمرت 1000000 $ بفائدة 6% متراكمة باستمرار. فما هي قيمة الفائدة المكتسبة بعد ساعة؟

لحساب قيمة الفائدة المكتسبة بعد ساعة عندما تكون الفائدة متراكمة بشكل مستمر، نستخدم الصيغة الخاصة بالفائدة المركبة المستمرة: A=Pert حيث:
A:  المبلغ الإجمالي بعد الزمن t.
P:   المبلغ الأصلي (رأس المال المستثمر) = 1,000,000 $ .
r:    معدل الفائدة السنوي = 6%=0.06 .
t:    الزمن المُقاس بالسنوات. بالنسبة لساعة واحدة t=(1/24×365)=1/8760
e:   العدد النيبري ثابت رياضي ( يساوي تقريبًا ≈ 2.718 )

🔔 حساب المبلغ الإجمالي A بعد ساعة واحدة: A=1,000,000⋅e(0.06⋅1/8760)
🔔 حساب الفائدة المكتسبة من العلاقة: p *(e^rt – 1)

الفائدة =  A – P 

• A المبلغ الإجمالي بعد ساعة هو: A=1,000,006.85 دولار
• الفائدة المكتسبة بعد ساعة هو: 1,000,006.85 - 1,000,000 = 6.85 دولار

وبالتالي الفائدة المكتسبة بعد ساعة هي 6.85 دولار

المراجع.

1. البرقلي، ناديا. (د – ت). أساسيات التفاضل والتكامل. الفصل الرابع. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/HvBr2NXv.

------------------------------------------------------------

مجلة التعلم

ما هو تعريف الدالة الأسية واللوغاريتمية؟

من خواص الدوال الأسية واللوغاريتمية نذكر ان الدالة الأسية هي دالة تقبل الاشتقاق على R ومشتقاتها بشكل عام هي ((exp(x))'=exp(x)). والدالة الأسية هي دالة مستمرة ومتزايدة على R. كما ان الدالة اللوغاريتمية هي دالة قابلة للاشتقاق على R ومشتقاتها بصورة عامة هي ln'(x) = 1/x لكل x ЄR (البرقلي، د – ت، ص273).

بعد الاطلاع على موضوع الدوال الأسية واللوغاريتمية. وجدنا بعض المفاهيم والمصطلحات الغريبة والصعبة الفهم. ومن الأجزاء الأكثر صعوبة في القراءة نذكر بعضها فيما يلي:

ما هي العلاقة بين الدوال الأسية واللوغاريتمية؟

الفهم الأولي لعلاقة اللوغاريتم بالدالة الأسية. مثل: log_b(a) = c يعني b^c = a . كان محيرًا عند محاولة عكس العلاقة أو حل مسائل تتطلب إعادة صياغة الصيغة. وذلك بسبب التداخل بين التعريف النظري والمثال العملي يتطلب تركيزًا لفهم المعنى والتطبيق مما استدعى تكرار القراءة لأكثر من مرة.

ما هي خصائص اللوغاريتمات؟

خاصيات مثل log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)
و log_b ({x}/{y) = log_b(x) - log_b(y)

ولذلك توجب تكرار القراءة لاستيعاب العلاقة ولماذا تعمل هذه الخاصيات. وذلك بسبب الحاجة إلى التوفيق بين المنطق النظري والممارسة العملية للحالات المختلفة.
اللوغاريتم الطبيعي ln(x):

ماذا يعني اللوغاريتم الطبيعي؟

إن فهم تعريفه المرتبط بالأساس e وتفسير قيمته الرياضية. حيث إن العدد e نفسه ليس بديهيًا بالنسبة للطلاب الجدد. ما يجعل التفسير الأولي غامضًا.

المسائل التي تتطلب إعادة صياغة اللوغاريتم:

على سبيل المثال. تحويل المعادلة log_b(x) = y إلى الشكل x = b^y وحل المسائل العملية المرتبطة بها. والسبب: استخدام نفس الصيغة في اتجاهين مختلفين يتطلب مرونة ذهنية وممارسة متكررة.

وبشكل عام فإن عدد مرات القراءة لتحقيق الفهم يمكن توضيحه كمايلي:

• الأجزاء المذكورة أعلاه تطلبت قراءتها 3 إلى 5 مرات على الأقل لتحقيق فهم مقبول.
• في المرة الأولى. كان التركيز على التعرف على المفهوم.
• في المرات الثانية والثالثة. حاولت تطبيق المفاهيم من خلال الأمثلة.
• في المرات التالية. تمكنت من تكوين فهم أعمق بعد حل مجموعة من التمارين العملية.

في الختام ومن خلال رأيي الشخصي: فإن المعلومات الرياضية تحتاج إلى مزيد من الوقت والتحليل لفهمها. خاصة عند تقديمها بطريقة مجردة قبل التطبيق. والحل كان في التوازن بين قراءة النصوص النظرية وممارسة التمارين العملية لربط المفاهيم مع التطبيقات الواقعية.

بعض التوصيات للطلاب الجدد :

• خصص وقتًا كافيًا لقراءة كل جزء ببطء. ولا تتردد في العودة إليه عند الحاجة.
• استخدم الرسوم البيانية والأمثلة التوضيحية المتاحة في الكتاب أو المصادر الأخرى.
• تدرب على حل مجموعة متنوعة من المسائل لتطبيق المفاهيم واكتساب مرونة في التعامل مع اللوغاريتمات والدوال الأسية.

المراجع.

1. البرقلي، ناديا. (د – ت). أساسيات التفاضل والتكامل. الفصل الرابع. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/HvBr2NXv.