أنماط التعلم - ما هي أنماط التعلم لدى المتعلمين

 

ما هي طريقة نيوتن لإيجاد الجذر التربيعي؟

ترتكز طريقة نيوتن على مبدأ التفاضل. حيث تستخدم تقنيات حساب التفاضل والتكامل لتحسين التخمين الأولي بشكل تدريجي حتى الوصول إلى الحل المطلوب. 

وتتميز هذه الطريقة بقدرتها الفائقة على معالجة المعادلات المعقدة. التي قد تفتقر إلى حلول جبرية واضحة. كما تُعد فعالة بشكل خاص في التعامل مع المعادلات غير الخطية أو أنظمة المعادلات (فاستر كابيتال، 2024).

ما هي طريقة نيوتن في الرياضيات؟

طريقة نيوتن هي إحدى الطرق العددية المستخدمة لحساب جذور المعادلات بشكل تقريبي. ويمكن استخدامها لحساب الجذر التربيعي للأرقام.

كيف يمكن استخدام طريقة نيوتن للعثور على الجذر التربيعي للأرقام التي من الصعب العثور على جذورها. 

إليك الخطوات العامة لاستخدام هذه الطريقة لحساب الجذر التربيعي لعدد S على سبيل المثال (S = 2):

لحساب الجذر التربيعي لـ S. تحتاج إلى حل المعادلة التالية: f(x) = x^2 - S = 0 حيث أن x هو الجذر المطلوب.

- تطبيق خوارزمية نيوتن:

والتي تعتمد على التكرار باستخدام الصيغة

x_(n+1) = x_n – {f(x_n) /f '(x_n)}

• القيم الحالية:    x _n
• القيم المحدثة:    x_(n+1)
• الدالة التي تعبر عن المسألة:   f(x) .
• f '(x) هي المشتقة الأولى لـ f(x) .

- المشتقة:  f(x) = x^2−S. لذا f '(x) = 2x

- استبدال في الصيغة:         x_ n+1=  x_n−(x_n^2−S)/ 2x_n

                                     x_ n+1= (x_n+(s/ x_n))/2

- اختيار قيمة ابتدائية x_0 :

• اختر قيمة ابتدائية x_0 قريبة من الجذر المتوقع.
• على سبيل المثال: للجذر التربيعي لـ S = 2. يمكن اختيار x_0 = 1

- التكرار لتحسين النتيجة: نكرر العملية باستخدام الصيغة فيكون:

x_)n+1( = {x_n + (S/x_n)}/ 2 

• استمر في التكرار حتى يصبح الفرق بين القيمتين المتتاليتين صغيرًا جدًا (∣(x_n+1)−(x_n)∣) <ϵ . حيث ϵ هي الدقة المطلوبة.

- مثال عملي: لحساب الجذر التربيعي لـ S = 2. نختار x_0 = 1 ثم نحسب:

x_1 = {x_0 + (2/x_0)}/ 2 = {1 + (2/1)}/ 2 = 1.5

نكرر:

x_2 = {x_1 + (2/x_1)}/ 2 = {1.5 + (2/1.5)}/ 2 = 1.4167

نكرر مرة أخرى:

x_3 = {x_2 + (2/x_2)}/ 2 = {1.4167 + (2/1.4167)}/ 2 = 1.4142

وهكذا...

- النتيجة: بعد عدد من التكرارات. ستقترب القيمة من 2 ≈ 1.4142 √ بدقة عالية.

في الختام 👈 إن هذه الطريقة تظهر مزايا مثل الطريقة بسيطة وفعالة. وتعطي تقريبًا سريعًا جدًا إذا كانت القيمة الابتدائية جيدة. وإذا كان العدد S كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا. فقد تحتاج إلى تعديل القيمة الابتدائية أو التعامل مع الدقة بعناية.

اقرأ أيضاً  لماذا نستخدم قاعدة السلسلة في التفاضل الضمني؟ - واجبات unit 5 تفاضل وتكامل.

اقرأ أيضاً الحد الأدنى المطلق - تحقيق الأرباح من سوق الأسهم من خلال  الأدوات الرياضية؟ - واجبات unit 4 تفاضل وتكامل.

المراجع.

1. فاستر كابيتال. (2024). طريقة نيوتن: تحديث حل المعادلات بالطريقة التفاضلية. فاستر كابيتال. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/22moRcha.

----------------------------------------------------------

الواجب الكتابي.

ما هي طريقة نيوتن في التفاضل والتكامل؟

ترتكز طريقة نيوتن على مبدأ التفاضل، حيث تستخدم تقنيات حساب التفاضل والتكامل لتحسين التخمين الأولي بشكل تدريجي حتى الوصول إلى الحل المطلوب. 

وتتميز هذه الطريقة بقدرتها الفائقة على معالجة المعادلات المعقدة التي قد تفتقر إلى حلول جبرية واضحة. كما تُعد فعالة بشكل خاص في التعامل مع المعادلات غير الخطية أو أنظمة المعادلات (فاستر كابيتال، 2024).

أولاً -  باستخدام طريقة نيوتن ، ما هو حل x^2 – 7 = 0 بعد التقريب الثالث، بدءاً من x = 3 ؟

باستخدام طريقة نيوتن، حل المعادلة x^2 - 7 = 0 بعد التقريب الثالث بدءًا من x = 3 هو:

X ≈ 32257/12192 ≈ 2.644 .

التفسير:

الدالة التي نتعامل معها هي x^2 – 7 f(x)= وبالتالي f ' (x) = 2 x .

التقريب 1 :

 x = 3 ، نلاحظ أن f(3) =2 و f ' (3) = 6.

التقريب 2:  

    [3 – (2/6) – 3 –(1/3)]  = 8/3.

لاحظ أن f ' (8/3) = 16/3 , f (8/3) = 1/9.

التقريب 3: 

 (8/3) – [(1/9)/(16/3)] = (8/3) – (1/48) = (127/48).

اذا كنت تستخدم آلة حاسبة فستكون هذه هي الجذر التربيعي لـ 7 ، على الأقل إلى 3 منازل عشرية، ننصح وبشدة على التأكد من أنه يمكنك التعامل مع الكسور جيداً بشكل كافي لمتابعة الحسابات السابقة (بما أن استخدام الآلة الحاسبة لا يحقق الغرض المطلوب، وستواجه قريباً مشكلات لن تكون فيها الآلة الحاسبة مفيدة بشكل كافي).

 ثانياً - ما هو معكوس المشتقة (الدالة الأصلية ) لـ f(x) = x^3 + cos x ؟

معكوس المشتقة (الدالة الأصلية) لـ f(x) = x^3 + cos(x) هو:

F(x) = ((x^4)/4)+sin (x)+C حيث C هو ثابت التكامل.

حيث إن معكوس المشتق لـ (x^3) هو (x^4)/4))، وكذلك معكوس المشتقة لـ (cos x) هو (sin x).

K = 0,1,2,3,4  بحيث ∑ (((1-)^K)*k^2)       ثالثاُ - احسب

حساب المجموع:

• K=0:  (−1)^0*0^2=0
• K=1:  (−1)^1*1^2=−1
• K=2:  (−1)^2*2^2=4
• K=3:  (−1)^3*3^2=−9
• K=4:   (−1)^4*4^2=16

المجموع: 0 - 1 + 4 - 9 + 16 = 10

لاحظ أن k^(-1) موجبة عندما k بقيم زوجية وسالبة عندما k بقيم فردية، وبجمع القيم  0 - 1 + 4 - 9 + 16 = 10.

المراجع.

1. فاستر كابيتال. (2024). طريقة نيوتن: تحديث حل المعادلات بالطريقة التفاضلية. فاستر كابيتال. تم الاسترجاع من الرابط https://2u.pw/22moRcha .

-------------------------------------------------

مجلة التعلم

ما هي الكتابة الرياضية؟

الكتابة الرياضية هي أسلوب منهجي للتعبير عن الأفكار والمفاهيم الرياضية باستخدام رموز وصيغ وأشكال متفق عليها عالميًا. تهدف الكتابة الرياضية إلى توصيل الأفكار بدقة ووضوح. بحيث تكون مفهومة لجميع المهتمين بالرياضيات بغض النظر عن اللغة الأم. 

فالرياضيات لغة لها مفرداتها الخاصة وقواعدها ويتم التواصل الرياضي من خلال كتابة الرموز الرياضية والرسوم البيانية والمصطلحات بطريقة صحيحة (الدوسري والسعيدي، 2023، ص1064).

ماذا تفعل الكتابة الرياضية؟

للكتابة الرياضية أهمية واضحة مثل تسهيل التواصل بين علماء الرياضيات والمختصين في المجالات العلمية الأخرى. وتمكين التوضيح والتحليل المنهجي للأفكار. ودعم التعلم والتعليم من خلال تقديم المفاهيم بشكل بصري ومنظم.

ما هي مكونات البنية الرياضية؟

من مكونات الكتابة الرياضية نذكر:

1. الرموز الرياضية: مثل +، −، ×، ÷ ، ∀، ∃ ، ∑، ∫ ، وغيرها. وتُستخدم لتسهيل التعبير عن العمليات والعلاقات الرياضية.
2. الصيغ والمعادلات: وتعبر عن العلاقات بين المتغيرات والأعداد. مثل E = m*c^2 أو x^2 + y^2 = r^2.
3. اللغة الطبيعية المساندة: وتُستخدم الكلمات والجمل لتقديم السياق أو شرح الرموز والصيغ الرياضية. على سبيل المثال: "لتكن x عددًا حقيقيًا. ندرس سلوك الدالة f(x) عند الاقتراب من الصفر."
4. التنسيق والتوضيح: يتضمن استخدام الجداول. الرسومات البيانية. والمخططات لتوضيح الأفكار الرياضية.

ما هي استراتيجيات حل المشكلات الرياضية؟

تعد الكتابة الرياضية من أكثر أنواع الكتابة التي تتطلب تركيزًا واستيعابًا دقيقين. لفهم النصوص الرياضية بشكل كامل. غالبًا ما تحتاج إلى قراءة المقاطع عدة مرات لفهم المفاهيم. العلاقات الرياضية. والرموز المستخدمة. 

لتحديد الصعوبات. يمكنك استخدام الخطوات التالية:

🔋 تحديد المقاطع الصعبة: حدد الأجزاء التي تحتوي على رموز جديدة. تعاريف معقدة. أو خطوات رياضية طويلة. حيث تعتبر الرموز الرياضية لغة خاصة تحمل معاني دقيقة ومحددة. قد يواجه القارئ صعوبة في فهم المعنى الكامن وراء هذه الرموز. خاصة إذا لم يكن معتادًا على استخدامها.
🔋 التركيز على الأسباب: هل الصعوبة ناتجة عن المصطلحات الجديدة. عدم وضوح العلاقة بين الخطوات. أو تعقيد المفاهيم؟. حيث كثيراً ما تتناول النصوص الرياضية مفاهيم مجردة يصعب تصورها أو تمثيلها بشكل مادي. هذا يجعل عملية الفهم أكثر تعقيدًا.
🔋 قياس عدد القراءات: سجل عدد المرات التي أعدت قراءة المقطع. على سبيل المثال:

•  إذا كان نصًا يحتوي على تعريف جديد لقانون مثل "قاعدة السلسلة". قد تحتاج لقراءته مرتين أو ثلاثًا لاستيعاب خطوات تطبيقه. حيث تتطلب البراهين الرياضية تتبع سلسلة منطقية من الخطوات. والتي قد تكون طويلة ومعقدة. أي خطأ صغير في هذه السلسلة يمكن أن يؤدي إلى عدم فهم البراهين بأكملها.
•  في حالة التفاضل الضمني. قد يكون الفهم أسهل بعد قراءة المثال العملي مرة أو مرتين.

🔋 استخدام الأدوات المساعدة: الرجوع إلى أمثلة مشابهة. مراجعة الكتب التوضيحية. أو مشاهدة فيديوهات تعليمية يمكن أن يسرع الفهم.

في الختام 👈 إعادة القراءة أو استخدام مصادر إضافية تساعد في التغلب على تلك الصعوبة. مع تخصيص الوقت الكافي لقراءة النص الرياضي. والتوقف عند كل جزء غير مفهوم.

المراجع.

1. الدوسري، هلا خلف مترك والسعيدي، حنان احمد. (2023). درجة توافر مهارات التواصل الرياضي في محتوى كتاب الرياضيات للصف الأول متوسط في المملكة العربية السعودية. العدد7 . السعودية: مجلة كلية البنات الأزهرية بطيبة الأقصر.