أنماط التعلم - ما هي أنماط التعلم لدى المتعلمين

ماذا يعني أن يكون التكامل محدودًا؟

في الاقتصاد وإدارة الأعمال، يُعد التكامل المحدود أداة رياضية أساسية لحساب الربح بدقة. يُستخدم لتحديد المساحة تحت منحنى دالة الإيرادات أو التكاليف خلال فترة زمنية محددة، مما يتيح تحليل الأداء المالي. يُسهم هذا النهج في اتخاذ قرارات مالية واستراتيجية مستنيرة للشركات.

التكامل المحدود 

يُعد أداة فعالة لتحديد الربح خلال فترة معينة عند توفر دالة تمثل الإيرادات (Revenue) ودالة أخرى تمثل التكاليف (Cost) في تلك الفترة. وبمعنى آخر هو المساحة الواقعة تحت المنحنى f(x) وفوق المنحنى السيني والمحددة بالمستقيمين المتوازيين x=b , x =a (عبد، 2014، ص1).

كيفية استخدام التكامل المحدد.

 من خلال الخطوات الأساسية:

تمثيل الإيرادات والتكاليف بدوال رياضية:

• لنفترض أن دالة الإيرادات مع الزمن R(t) تمثل الإيرادات في لحظة زمنية معينة t.
• ودالة التكاليف مع الزمن C(t) تمثل التكاليف في نفس اللحظة الزمنية.

تعريف دالة الربح:

الربح P(t) عند أي لحظة زمنية هو الفرق بين الإيرادات والتكاليف : P(t) = R(t) - C(t)

التكامل لتحديد الربح الكلي:

لتحديد الربح الكلي خلال فترة زمنية معينة من t_1 إلى t_2، نأخذ التكامل المحدود لدالة الربح:

 _t1^t2 (P(t)* dt)= ∫_t1^t2 ((R(t)−C(t))* dt ∫ = الربح الكلي

حل التكامل:

يتم حساب التكامل المحدود لدالتي الإيرادات والتكاليف بشكل منفصل:

∫_t1^t2 (R(t)* dt)− ∫_t1^t2 (C(t)* dt)

الناتج يمثل صافي الربح خلال الفترة الزمنية المحددة.

مثال عملي:

إذا كانت:

• دالة الإيرادات R(t) = 500t.
• دالة التكاليف C(t) = 200t + 1000
• الفترة الزمنية هي: من t = 0 إلى t = 10.
• الربح الكلي: ∫010 (500t−(200t+1000)) dt = ∫010 (300t−1000) dt

حساب التكامل:

∫₀¹⁰ (300t dt) − ∫₀¹⁰(1000 dt)

dt =[150*t^2]₀¹⁰−[1000*t]₀¹⁰

=(150*(10)^2−150*(0)^2)−(1000*(10)−1000*(0)) 

=15000−10000=5000 

إذًا، الربح الكلي خلال الفترة هو 5000 وحدة نقدية.

نستنتج مما سبق أن هذا النهج يُظهر الربح الكلي بدقة عن طريق تحليل دقيق للتغيرات في الإيرادات والتكاليف عبر الزمن. كما يمكن تطبيقه في مجالات مختلفة مثل الاقتصاد، التسويق، وإدارة الأعمال.

اقرأ أيضاً ما معنى أن تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما بيانياً؟ - واجبات unit 3 تفاضل وتكامل.

اقرأ أيضاً  لماذا نستخدم قاعدة السلسلة في التفاضل الضمني؟ - واجبات unit 5 تفاضل وتكامل.

المراجع.

عبد، فؤاد حمزة. (2014). التكامل المحدد. محاضرات الرياضيات. قسم الكيمياء. كلية العلوم. جامعة بابل. العراق.

-------------------------------------------------------------

مجلة التعلم.

1- استخدم طريقة التعويض لايجاد X*(x^2 – 4)^2*dx∫

لحل التكامل x(x^2−4)^2 dx∫  باستخدام طريقة التعويض، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: اختيار التعويض

لاحظ أن (x^2 - 4) هي عبارة داخلية مع مشتقة مرتبطة بها، حيث: u = x^2 - 4

ثم نأخذ المشتقة: du/dx=2x  ⟹  du=2x dx

إذن: x dx=1/2 du

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

باستخدام التعويض u = x^2 - 4 وx dx=1/2 du ، يصبح التكامل:

x(x^2−4)^2 dx=∫u^2⋅(1/2) du∫

du =1/2∫u^2 

الخطوة 3: إيجاد التكامل في صورة u

نستخدم قاعدة التكامل: u^n du=(u^n+1/(n+1))+C∫  ، عند n = 2:

 12 ∫u^2 du = 1/2⋅(u^3/3) + C = (u^3) /6 + C 

الخطوة 4: العودة إلى المتغير x

بما أن u = x^2 - 4، نعيد u إلى x

u^3/6)+C=((x^2−4)^3)/6+C)

الناتج النهائي:

x(x^2−4)^2 dx=((x^2−4)^3)/6+C∫

2- ابحث عن  ₀^x ((sin^3( x)*cos (x))) dx∫ 

لحساب التكامل (sin^3( x)*cos (x))dx ∫0x ، يمكننا استخدام طريقة التعويض. دعنا نتبع الخطوات:

الخطوة 1: اختيار التعويض

لاحظ أن مشتقة sin(t) هي cos(t)، لذا نختار: u = sin(t)

وبالتالي: du/dt=cos(t)  ⟹  du=cos(t) dt

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

₀^x(sin^3(t)*cos(t)) dt∫

باستخدام التعويض u = sin(t) وdu=cos(t) dt ، يصبح التكامل:

₀^x sin^3(t) cos (t) dt = ∫₀^sin(x)u^3 du∫

الخطوة 3: إيجاد التكامل بالنسبة لـ u

استخدم قاعدة التكامل: u^n du=(u^(n+1)/(n+1))+C∫  ، لذا: ∫u^3 du=(u^4/4)+C∫

الخطوة 4: حساب الحدود

التكامل المحدد من 0 إلى sin(x) هو:

[u^4/4]₀^sin(x)

 وعند التعويض بالحدود:

((sin(x))^4)/4−((0)^4)/4=sin^4(x)/4

الناتج النهائي:

∫₀^xsin^3(t)*cos(t) dt=(sin^4(x))/4

1- أوجد قيمة    ₁^{e^2} ((5/x)*dx) ∫

لحساب التكامل المحدد: ∫1e2(5/x) dx، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: إعادة كتابة التكامل

نعرف أن 1/x هو مشتق الدالة اللوغاريتم الطبيعي  ln|x|، لذا يمكننا كتابة التكامل:

∫(5/x) dx=5∫(1/x) dx=5ln∣x∣+C

الخطوة 2: تطبيق التكامل المحدد

نطبق الحدودx = 1 و x = e^2:

∫₁^e2(5/x₁) dx=5[ln∣x∣]₁^e2

الخطوة 3: التعويض بالحدود: 5[ln(e^2)−ln(1)]

نعرف أن:
ln(e^2) = 2 لأن اللوغاريتم الطبيعي لـ e^2 هو الأس نفسه.
ln(1) = 0 لأن اللوغاريتم الطبيعي لـ 1 هو صفر.

إذن:5[2−0] = 5⋅2= 10

الناتج النهائي: ₁^e2(5/x) dx=10∫